Question

已知拋物線的焦點(diǎn)為F₂，點(diǎn)F₁與F₂關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，直線m垂直于x軸（垂足為T），與拋物線交于不同的兩點(diǎn)P,Q且.
（I）求點(diǎn)T的橫坐標(biāo)；
（II）若以F₁,F₂為焦點(diǎn)的橢圓C過點(diǎn).
①求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
②過點(diǎn)F₂作直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)，若的取值范圍.

Answer 1

（I）；（II）①，②  

解析試題分析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，由已知得到關(guān)于的一個方程；又點(diǎn)在拋物線上得方程，聯(lián)立方程解得；（II）①由已知得橢圓的半焦距，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由橢圓過點(diǎn)可得，又即，從而解得，；②容易驗證直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，將直線方程代入橢圓方程得，設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系得，，因為，所以，且將和平方除以積化簡得，將所求的模平方通過坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為關(guān)于k 的函數(shù)，解得。
試題解析：（Ⅰ）由題意得，，設(shè)，，
則，.
由，得即，①
又在拋物線上，則，②
聯(lián)立①、②易得
（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意得，
設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則  ③
   ④
將④代入③，解得或（舍去）
所以
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（ⅱ）方法一：
容易驗證直線