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【題目】函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m(0<m≤1).
(1)若x∈[0,m],證明:f(x)≤
(2)求|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).

【答案】
(1)證明:∵0<m≤1,∴f(x)的對稱軸x= ∈[ , ),

①0<m≤ 時,函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m開口向下,在[0,m)函數是增函數,

∴f(x)≤f(m)=﹣m2+(3﹣2m)m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ;

②當 時,f(x)max=f( )= =

綜上,f(x)≤


(2)解:函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m=﹣(x﹣ 2+ ,

若0 ,則0<2m≤1,f(x)的對稱軸x= ∈[1, ),

則f(x)在[﹣1,1]上為增函數,

∵f(1)=4﹣m∈[ ),|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[ ,2).

∴|f(1)|>|f(﹣1)|,

∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f(1)=4﹣m;

<m≤1,則1<2m≤2,f(x)的對稱軸x= ∈( ,1],

則f(x)在[﹣1,1]上先增后減,且最小值為f(﹣1)=3m﹣2,最大值為f( )=m2﹣2m+

∵|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[0,1],f( )=m2﹣2m+ =

∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f( )=m2﹣2m+

綜上,g(m)=


【解析】(1)求出二次函數的對稱軸方程,由m的范圍分類可得二次函數在[0,m]上的單調性,得到二次函數的最大值,由配方法證明f(x)≤ ;(2)分0 <m≤1兩種情況求出函數f(x)在[﹣1,1]上的最值,再由最值的絕對值的大小求得|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減.

練習冊系列答案
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2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

若由資料知,y對x呈線性相關關系,試求:
(Ⅰ)請畫出上表數據的散點圖;
(Ⅱ)請根據上表提供的數據,求出y關于x的線性回歸方程=bx+;
(Ⅲ)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
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