【題目】函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m(0<m≤1).
(1)若x∈[0,m],證明:f(x)≤ ;
(2)求|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【答案】
(1)證明:∵0<m≤1,∴f(x)的對稱軸x= ∈[ , ),
①0<m≤ 時,函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m開口向下,在[0,m)函數是增函數,
∴f(x)≤f(m)=﹣m2+(3﹣2m)m+2+m=﹣3m2+4m+2=﹣3 ;
②當 時,f(x)max=f( )= = < .
綜上,f(x)≤ ;
(2)解:函數f(x)=﹣x2+(3﹣2m)x+2+m=﹣(x﹣ )2+ ,
若0 ,則0<2m≤1,f(x)的對稱軸x= ∈[1, ),
則f(x)在[﹣1,1]上為增函數,
∵f(1)=4﹣m∈[ ),|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[ ,2).
∴|f(1)|>|f(﹣1)|,
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f(1)=4﹣m;
若 <m≤1,則1<2m≤2,f(x)的對稱軸x= ∈( ,1],
則f(x)在[﹣1,1]上先增后減,且最小值為f(﹣1)=3m﹣2,最大值為f( )=m2﹣2m+ .
∵|f(﹣1)|=|3m﹣2|∈[0,1],f( )=m2﹣2m+ = .
∴|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m)=f( )=m2﹣2m+ .
綜上,g(m)=
【解析】(1)求出二次函數的對稱軸方程,由m的范圍分類可得二次函數在[0,m]上的單調性,得到二次函數的最大值,由配方法證明f(x)≤ ;(2)分0 和 <m≤1兩種情況求出函數f(x)在[﹣1,1]上的最值,再由最值的絕對值的大小求得|f(x)|在[﹣1,1]上的最大值g(m).
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知當時,拋物線開口向上,函數在上遞減,在上遞增;當時,拋物線開口向下,函數在上遞增,在上遞減.
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【題目】函數f(x)= 是定義在區(qū)間(﹣1,1)上的奇函數,且f(2)= ,
(1)確定函數f(x)的解析式;
(2)用定義法證明f(x)在區(qū)間(﹣1,1)上是增函數;
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
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【題目】【2017省息一中第七次適應性考】已知函數(),且的導數為.
(Ⅰ)若是定義域內的增函數,求實數的取值范圍;
(Ⅱ)若方程有3個不同的實數根,求實數的取值范圍.
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【題目】設集合A={x|ax2+bx+1=0}(a∈R,b∈R),集合B={﹣1,1}.
(1)若BA,求實數a的值;
(2)若A∩B≠,求a2﹣b2+2a的值.
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【題目】已知集合A={x|x2﹣3x<0},B={x|(x+2)(4﹣x)≥0},C={x|a<x≤a+1}.
(1)求A∩B;
(2)若B∪C=B,求實數a的取值范圍.
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【題目】假設關于某設備使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料:
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
若由資料知,y對x呈線性相關關系,試求:
(Ⅰ)請畫出上表數據的散點圖;
(Ⅱ)請根據上表提供的數據,求出y關于x的線性回歸方程=bx+;
(Ⅲ)估計使用年限為10年時,維修費用約是多少?
(參考數據:2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3)
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0),對任意的x∈R,都有f(x﹣4)=f(2﹣x)成立,
(1)求2a﹣b的值;
(2)函數f(x)取得最小值0,且對任意x∈R,不等式x≤f(x)≤( )2恒成立,求函數f(x)的解析式;
(3)若方程f(x)=x沒有實數根,判斷方程f(f(x))=x根的情況,并說明理由.
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