Question

2．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，以F₁為圓心，且經(jīng)過(guò)橢圓中心的圓與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)為P，若PF₂恰好與圓F₁相切，則該橢圓的離心率為$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由題設(shè)知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，由直線F₂M與圓F₁相切，知∠F₁PF₂=90°．則c²+（2a-c）²=4c²，由此能求出該橢圓的離心率．

解答 解：由題設(shè)知丨F₁P丨=c，丨PF₂丨=2a-c，丨F₁F₂丨=2c，
∵直線F₂P與圓F₁相切，
∴∠F₁PF₂=90°．
∴c²+（2a-c）²=4c²，
整理得4a²-4ac=2c²，
∴e²+2e-2=0，
解得e=$\sqrt{3}$-1或e=-$\sqrt{3}$-1（舍）．
故答案為：$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地利用橢圓性質(zhì)，恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，屬于中檔題．