Question

已知函數(shù)f（x）=

-x3+ax2+bx，  (x＜1) clnx，     (x≥1)

的圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0．
（1）求實數(shù)a、b的值；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，2]上的最大值；
（3）曲線y=f（x）上存在兩點M、N，使得△MON是以坐標(biāo)原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊MN的中點在y軸上，求實數(shù)c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用函數(shù)圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，確定切點坐標(biāo)及切線的向量，建立方程組，即可求實數(shù)a、b的值；
（2）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在[-1，2]上的最大值；
（3）根據(jù)分段函數(shù)，分類討論，利用

OM

•

ON

=0，即可求實數(shù)c的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)x＜1時，f′（x）=-3x²+2ax+b．
因為函數(shù)圖象在點（-2，f（-2））處的切線方程為16x+y+20=0，所以切點坐標(biāo)為（-2，12），
所以

f(-2)=8+4a-2b=12 f′(-2)=-12-4a+b=-16

，所以a=1，b=0；
（2）由（1）得，當(dāng)x＜1時，f（x）=-x³+x²，
令f′（x）=-3x²+2x=0可得x=0或x=

2

3

，故函數(shù)在（-1，0）和（

2

3

，1）上單調(diào)遞減，在（0，

2

3

）上單調(diào)遞增
∴x＜1時，f（x）的最大值為max{f（-1），f（

2

3

）}=f（-1）=2；
當(dāng)1≤x≤2時，f（x）=clnx
當(dāng)c≤0時，clnx≤0恒成立，f（x）≤0＜2，此時f（x）在[-1，2]上的最大值為f（-1）=2；
當(dāng)c＞0時，f（x）在[-1，2]上單調(diào)遞增，且f（2）=cln2
令cln2=2，則c=

2

ln2

，∴當(dāng)c＞

2

ln2

時，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（2）=cln2；
當(dāng)0＜c≤

2

ln2

時，f（x）在[-1，2]上的最大值為f（-1）=2
綜上，當(dāng)c≤

2

ln2

時，f（x）在[-1，2]上的最大值為2，當(dāng)c＞

2

ln2

時，f（x）在[-1，2]上的最大值為cln2；
（3）f（x）=

-x3+x2，  (x＜1) clnx，     (x≥1)

，
根據(jù)條件M，N的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，不妨設(shè)M（-t，t³+t²），N（t，f（t）），（t＞0）．
若t＜1，則f（t）=-t³+t²，
由∠MON是直角得，

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）（-t³+t²）=0，
即t⁴-t²+1=0．此時無解；
若t≥1，則f（t）=clnt．
由于MN的中點在y軸上，且∠MON是直角，所以N點不可能在x軸上，即t≠1．
同理由

OM

•

ON

=0，即-t²+（t³+t²）•clnt=0，∴c=

1

(t+1)lnt

．
由于函數(shù)g（t）=

1

(t+1)lnt

（t＞1）的值域是（0，+∞），實數(shù)c的取值范圍是（0，+∞）即為所求．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計算能力，綜合性強．