Question

10．如圖，ABCD是邊長為$2\sqrt{3}$的正方形，點E，F(xiàn)分別是邊BC，CD的中點，將△ABE，△CEF，△ADF分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使得B，C，D三點重合于點P，若四面體PAEF的四個頂點在同一個球的球面上，則該球的表面積是（　　）

• A． 6π
• B． 12π
• C． 18π
• D． $9\sqrt{2}π$

Answer 1

分析 由已知得PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2$\sqrt{3}$，PE=PF=$\sqrt{3}$，以PA、PE、PF為棱構造一個長方體，則四面體PAEF的四個頂點在這個長方體的外接球上，由此能求出該球的表面積．

解答 解：∵ABCD是邊長為2的正方形，點E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，
將△ABE，△ECF，△FDA分別沿AE，EF，F(xiàn)A折起，使B，C，D三點重合于點P，
∴PA、PF、PE兩兩垂直，且PA=2$\sqrt{3}$，PE=PF=$\sqrt{3}$，
以PA、PE、PF為棱構造一個長方體，
則四面體PAEF的四個頂點在這個長方體的外接球上，
∴這個球的半徑為R=$\frac{\sqrt{3+3+12}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴該球的表面積是S=4πR²=4π×$\frac{9}{2}$=18π．
故選：C．

點評 本題考查球的表面積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球、四面體的性質及構造法的合理應用．