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18.已知函數(shù)f(x)={3x13xx00x0
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若3x•f(2t)+mf(t)≥0對于t∈[1,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

分析 (1)f(x)=2即3x-13x=2,先解3x,再解x值,注意3x>0;
(2)不等式3t•f(2t)+mf(t)≥0恒成立,通過整理變形轉(zhuǎn)化為32t+1+m≥0恒成立,分離參數(shù)m后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決

解答 解:(1)f(x)=2即3x-13x=2,得32x-2×3x-1=0,∴3x=1±2
又3x>0,∴3x=1+2
∴x=log3(1+2).
(2)∵3t•f(2t)+mf(t)≥0,
∴3t(32t-3-2t)+m(3t-3-t)≥0,
∵t∈[1,2],
∴32t+1+m≥0恒成立,即m≥-(32t+1)恒成立,
問題等價于m大于等于-(32t+1)的最大值-10,
∴m≥-10,
因此m的取值范圍為[-10,+∞).

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題及指數(shù)方程的求解,考查學生的分析問題解決問題的能力,恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題解決,或分離參數(shù)后再求函數(shù)最值.

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