Question

【題目】已知動點到定點的距離比到軸的距離多.

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）設，是軌跡在上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當，變化且時，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）證明見解析，定點

【解析】

（1）設，由題意可知，對的正負分情況討論，從而求得動點的軌跡的方程；

（2）設其方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得到，所以，所以直線的方程可表示為，即，所以直線恒過定點．

（1）設，

動點到定點的距離比到軸的距離多，

，時，解得，

時，解得.

動點的軌跡的方程為或

（2）證明：如圖，設，，

由題意得（否則）且，

所以直線的斜率存在，設其方程為，

將與聯(lián)立消去，得，

由韋達定理知，，①

顯然，，

，，

將①式代入上式整理化簡可得：，

所以，

此時，直線的方程可表示為，

即，

所以直線恒過定點.