Question

【題目】據(jù)俄羅斯新羅西斯克2015年5月17日電 記者吳敏、鄭文達(dá)報(bào)道：當(dāng)?shù)貢r(shí)間17日，參加中俄“海上聯(lián)合－2015(Ⅰ)”軍事演習(xí)的9艘艦艇抵達(dá)地中海預(yù)定海域，混編組成海上聯(lián)合集群．接到命令后我軍在港口M要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄軍輪船上，在小艇出發(fā)時(shí)，輪船位于港口M北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/小時(shí)的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/小時(shí)的航行速度勻速行駛，經(jīng)過(guò)t小時(shí)與輪船相遇．

（1）若希望相遇時(shí)小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？

（2）為保證小艇在30分鐘內(nèi)(含30分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值并說(shuō)明你的推理過(guò)程；

（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小時(shí)的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇？若存在，試確定v的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】：(1) ;(2) ;(3)

【解析】試題分析：（1）先假設(shè)相遇時(shí)小艇的航行距離為，根據(jù)余弦定理可得到關(guān)系式 ，整理后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)可確定答案；（2）先假設(shè)小艇與輪船在某處相遇，根據(jù)余弦定理可得到 ，再由 的范圍求得 的最小值；（3）根據(jù)（2）中與的關(guān)系式，設(shè)，然后代入關(guān)系式整理成，將問(wèn)題等價(jià)于有兩個(gè)不等正根的問(wèn)題，進(jìn)而得解.

試題解析：(1) 設(shè)相遇時(shí)小艇航行的距離為S海里，則

S＝，

當(dāng)t＝，Smin＝10，v＝30，

即小艇以30的速度航行時(shí)，相遇時(shí)小艇航行距離最�。�

(2) 設(shè)小艇與輪船在B處相遇．

由題意得(vt)2＝202＋(30t)2－1 200t·cos60°，

v2＝4002＋675.

∵ 0<t≤， ∴＝2時(shí)，v取得最小值10.

(3) 由(2)知v2＝－＋900，設(shè)＝μ(μ>0)，

∴ 400μ2－600μ＋900v2＝0.

小艇總能有兩種不同的航行方向與輪船相遇，等價(jià)于上述方程應(yīng)有兩個(gè)不等正根，

解得15<v<30.