Question

20．已知函數(shù)f（x）=x-a-lnx（a∈R）．
（1）若f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：若0＜x₁＜x₂，則lnx₁-lnx₂＞1-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

Answer 1

分析 （1）法一：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到函數(shù)的最小值，從而求出a的范圍即可；
法二：分離參數(shù)，得到a≤x-lnx（x＞0），令g（x）=x-lnx（x＞0），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；
（2）先求出lnx≤x-1，得到ln$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，（0＜x₁＜x₂），整理即可．

解答 解：（1）解法1：f′（x）=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
令f′（x）＞0，得x＞1；令f′（x）＜0，得0＜x＜1，
即f（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
可知f（x）的最小值是f（1）=1-a≥0，解得a≤1；
解法2：f（x）≥0，即a≤x-lnx（x＞0），
令g（x）=x-lnx（x＞0），
則g′（x）=$\frac{x-1}{x}$，（x＞0），
令g′（x）＞0，得x＞1；令g′（x）＜0，得0＜x＜1，
即g（x）在（0，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
可知g（x）的最小值是g（1）=1，可得a≤1；
（2）證明：取a=1，知f（x）=x-1-lnx，
由（1）知lnx-x+1≤0，即lnx≤x-1，
∴l(xiāng)n$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＜$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$-1，（0＜x₁＜x₂），
整理得lnx₁-lnx₂＞1-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道中檔題．