Question

5．已知不等式|x+1|+|x-1|＜8的解集為A．
（1）求集合A；
（2）若?a，b∈A，x∈（0，+∞），不等式a+b＜x+$\frac{9}{x}$+m恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值．

Answer 1

分析 （1）分x＜-1，-1≤x≤1，x＞1三種情況去絕對(duì)值符號(hào)將不等式轉(zhuǎn)化為一元一次不等式求解；
（2）分別求出a+b和x+$\frac{9}{x}$+m的范圍，令a+b的最大值小于x+$\frac{9}{x}$+m的最小值即可．

解答 解：（1）①當(dāng)x＜-1時(shí)，-x-1-x+1＜8，解得-4＜x＜-1；
②當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，x+1-x+1＜8，恒成立；
③當(dāng)x＞1時(shí)，x+1+x-1＜8，解得1＜x＜4．
綜上，A=（-4，4）…（4分）
（2）由（1）知：a，b∈（-4，4），∴a+b∈（-8，8）．
又x∈（0，+∞）時(shí)，x+$\frac{9}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{9}{x}}$=6，（當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)等號(hào)成立）…（6分）；
∴依題意得：6+m≥8，
∴m≥2，故實(shí)數(shù)m的最小值為2…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．