Question

17．已知平面直角坐標(biāo)系xOy，以O(shè)為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，P點的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}}$（θ為參數(shù)）．
（1）寫出點P的直角坐標(biāo)及曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若Q為曲線C上的動點，求PQ中點M到直線l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距離的最小值．

Answer 1

分析 （1）P點的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），利用互化公式可得：點P的直角坐標(biāo)．由$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}}\right.$，利用平方關(guān)系可得普通方程．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），對于直線l的極坐標(biāo)利用互化公式可得直線l的普通方程．設(shè)$Q（2cosθ，-\sqrt{3}+2sinθ）$，則$M（\frac{3}{2}+cosθ，sinθ）$，利用點到直線的距離公式可得點M到直線l的距離，再利用三角函數(shù)的值域即可得出．

解答 解：（1）P點的極坐標(biāo)為（2$\sqrt{3}$，$\frac{π}{6}$），利用互化公式可得：點P的直角坐標(biāo)$（3，\sqrt{3}）$，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}}\right.$，得${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$，
∴曲線C的直角坐標(biāo)方程為${x^2}+{（y+\sqrt{3}）^2}=4$．
（2）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=-\sqrt{3}+2sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），直線l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直線l的普通方程為x+2y+1=0，
設(shè)$Q（2cosθ，-\sqrt{3}+2sinθ）$，則$M（\frac{3}{2}+cosθ，sinθ）$，
則點M到直線l的距離$d=\frac{{|\frac{3}{2}+cosθ+2sinθ+1|}}{{\sqrt{{1^2}+{2^2}}}}=\frac{{|\sqrt{5}sin（θ+φ）+\frac{5}{2}|}}{{\sqrt{5}}}≥\frac{{-\sqrt{5}+\frac{5}{2}}}{{\sqrt{5}}}=\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$，
∴點M到直線l的最小距離為$\frac{{\sqrt{5}}}{2}-1$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式、三角函數(shù)的值域、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．