Question

2．已知函數f（x）=|x-1|+|x-2|+|x-a|．
（I）當a=1時，解不等式f（x）≤2；
（Ⅱ）當a=3時，若f（x）≥m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）a=1時，通過討論x的范圍，求出各個區(qū)間上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）a=3時，通過討論x的范圍，求出f（x）的最小值，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=2|x-1|+|x-2|=$\left\{\begin{array}{l}{4-3x，x≤1}\\{x，1＜x＜2}\\{3x-4，x≥2}\end{array}\right.$，
x≤1時，4-3x≤2，解得：$\frac{2}{3}$≤x≤1，
1＜x＜2時，x≤2，∴1＜x＜2，
x≥2時，3x-4≤2，∴x=2，
綜上，不等式的解集是{x|$\frac{2}{3}$≤x≤2}；
（Ⅱ）a=3時，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6-3x，x≤1}\\{4-x，1＜x≤2}\\{x，2＜x≤3}\\{3x-6，x＞3}\end{array}\right.$，
x≤1時，6-3x≥3，∴f（x）≥3，
1＜x≤2時，2≤4-x＜3，∴2≤f（x）＜3，
2＜x≤3時，2＜f（x）≤3，
x＞3時，3x-6＞3，∴f（x）＞3，
綜上，x=2時，f（x）的最小值是2，
若f（x）≥m恒成立，則m≤2，
故實數m的范圍是（-∞，2]．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．