Question

11．已知圓C：（x-1）²+y²=1（C為圓心）和直線l：x+y+1=0，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C作切線，切點(diǎn)為A、B
（1）若Q為圓C上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值；
（2）求切線段|PA|的最小值；
（3）求四邊形PACB面積的最小值；
（4）求$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的最小值．

Answer 1

分析 根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形即可得出：
（1）圓心C到直線l的距離d，計(jì)算|PQ|的最小值是d-r；
（2）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小；
（3）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小，四邊形PACB面積最小；
（4）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小，$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值最�。�

解答 解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示；

（1）根據(jù)題意，圓C：（x-1）²+y²=1的圓心（1，0）到直線l：x+y+1=0的距離為
d=$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴|PQ|的最小值為d-r=$\sqrt{2}$-1；
（2）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小，
由圓心C到直線l的距離為d=$\sqrt{2}$，∴|PA|=|PB|=$\sqrt{gd36aip^{2}{-r}^{2}}$=$\sqrt{{（\sqrt{2}）}^{2}{-1}^{2}}$=1；
（3）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小，
圓心到直線的距離d=$\sqrt{2}$，|PA|=|PB|=1，
此時(shí)四邊形PACB的面積最小，最小值是2×$\frac{1}{2}$|PA|r=1；
（4）當(dāng)圓心與點(diǎn)P的距離最小，即距離為圓心到直線的距離時(shí)，切線長PA，PB最小，
|PA|=|PB|=1，P（0，-1），A（1，-1），B（0，0），此時(shí)$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的值最小，
∵$\overrightarrow{PA}$=（1，0），$\overrightarrow{PB}$=（0，1），
∴$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$的最小值是0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，主要涉及了點(diǎn)到直線的距離，切線長定理，構(gòu)造四邊形求面積的應(yīng)用問題，平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用問題，是綜合性題目．