Question

13．已知函數(shù)f（x）=4lnx+a（1-x）．
（1）若f（x）的單調(diào)性；
（2）當(dāng)f（x）有最大值，且最大值大于a-4時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的最大值，得到關(guān)于a的不等式，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
對(duì)f（x）求導(dǎo)得$f'（x）=\frac{4}{x}-a$…（2分）
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，$f'（x）=\frac{4}{x}-a=\frac{{-a（{x-\frac{4}{a}}）}}{x}$，
若$0＜x＜\frac{4}{a}$，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
若$x≥\frac{4}{a}$，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．                                     …（4分）
綜上，a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增；
a＞0時(shí)，f（x）在$（{0，\frac{4}{a}}）$上單調(diào)遞增，在$[{\frac{4}{a}，+∞}）$上單調(diào)遞減                  …（6分）
（2）由（1）a＞0且$x=\frac{4}{a}$時(shí)，f（x）取得最大值
故$f{（x）_{max}}=f（{\frac{4}{a}}）=4ln\frac{4}{a}+a（{1-\frac{4}{a}}）=4ln\frac{4}{a}+a-4$．                       …（9分）
又由f（x）_max＞a-4得，$4ln\frac{4}{a}＞0$，解得0＜a＜4，
故所求a的取值范圍為（0，4）．                                               …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道中檔題．