Question

已知函數(shù)f（x）=tx²-4x-2，
（Ⅰ）當t=1時，求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）當t=2且f（x）的定義域為（-1，1），f（1-m）-f（2m-1）＜0，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）定義域為R，且在區(qū)間（1，2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)t取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）將t=1代入f（x）得f（x）=x²-4x-2，所以解方程x²-4x-2=0即得函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）t=2時，f（x）=2x²-4x-2，該函數(shù)的對稱軸為x=1，所以函數(shù)f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞減，由原不等式得，f（1-m）＜f（2m-1），所以得到

-1＜1-m＜1 -1＜2m-1＜1 1-m＞2m-1

，解該不等式組即得m的取值范圍；
（Ⅲ）t=0時，f（x）=-4x-2是一次函數(shù)，滿足在（1，2）上單調(diào)遞減，即t=0符合條件．t≠0時，f（x）是二次函數(shù)，對稱軸為x=

2

t

，若t＞0，則

2

t

≥2，所以得到0＜t≤1；而t＜0時，

2

t

＜1，所以滿足f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，所以將以上t的取值合并到一起即得實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）t=1時，f（x）=x²-4x-2，解x²-4x-2=0得x=2±

6

；
∴函數(shù)f（x）的零點是x=2-

6

，和x=2+

6

；
（Ⅱ）t=2時，f（x）=2x²-4x-2，對稱軸是x=1，∴該函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞減，由原不等式得：
f（1-m）＜f（2m-1）；
∴

-1＜1-m＜1 -1＜2m-1＜1 1-m＞2m-1

，解得0＜m＜

2

3

；
∴實數(shù)m的取值范圍是(0，

2

3

)；
（Ⅲ）（1）t=0時，f（x）=-4x-2，滿足在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞減；
（2）t≠0時，f（x）為二次函數(shù)，對稱軸是x=

4

2t

=

2

t

；
函數(shù)f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減，∴①若t＞0，

2

t

≥2，∴0＜t≤1；
②若t＜0，

2

t

＜0，∴滿足f（x）在（1，2）上單調(diào)遞減；
綜上得實數(shù)t的取值范圍是（-∞，1]．

點評：考查函數(shù)零點的概念，二次函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性解不等式，以及一次函數(shù)的單調(diào)性．