已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)過點(
2
 ， 
3
3
)，且離心率為
6
3
，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的左右焦點，直線l為橢圓的左準線，
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若點M在橢圓上，M到右焦點的距離為
3
-1，求點M到左準線l的距離．
（Ⅲ）若點P是橢圓C上的動點，PQ⊥l，垂足為Q，是否存在點P使得△F1PQ為等腰三角形，若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（I）由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)過點(
2
 ， 
3
3
)，且離心率為
6
3
，可得
2
a2
+
1
3b2
=1
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，解得即可．
（II）由（I）可得橢圓的左準線l為：x=-
3
2
2
．由點M在橢圓上，M到右焦點的距離為
3
-1，可得點M到左焦點的距離，再利用橢圓的第二定義即可得出．
（III）假設(shè)存在點P使得△F1PQ為等腰三角形，可能|PQ|=|QF1|或|QF1|=|PF1|．設(shè)P（x，y），可得
x2
3
+y2=1．
利用兩點之間的距離的公式可得另一個關(guān)系式．聯(lián)立解出即可．
解答： 解：（I）由橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)過點(
2
 ， 
3
3
)，且離心率為
6
3
，
∴
2
a2
+
1
3b2
=1
c
a
=
6
3
a2=b2+c2
，解得a2=3，b2=1，c2=2．
∴橢圓C的方程為
x2
3
+y2=1．
（II）由（I）可得橢圓的左準線l為：x=-
3
2
2
．
∵點M在橢圓上，M到右焦點的距離為
3
-1，
∴點M到左焦點的距離=2a-（
3
-1）=
3
+1，
∴點M到左準線l的距離d滿足
3
+1
d
=e=
6
3
，解得d=
3
2
+
6
2
．
（III）假設(shè)存在點P使得△F1PQ為等腰三角形，則|PQ|=|QF1|或|QF1|=|PF1|．
設(shè)P（x，y），則
x2
3
+y2=1．
F1(-
2
，0)，Q(-
3
2
2
，y)．
①若|PQ|=|QF1|，則|x+
3
2
2
|=
(-
2
+
3
2
2
)2+y2
，又
x2
3
+y2=1．化為4x2+9
2
x+9=0，
解得x=-
3
2
4
，y=±
10
4
．∴P(-
3
2
4
，±
10
4
)．
②若|QF1|=|PF1|．則
(-
2
+
3
2
2
)2+y2
=
(x+
2
)2+y2
，又
x2
3
+y2=1．
解得x=-
2
2
，y=±
30
6
．∴P(-
2
2
，±
30
6
)．
綜上可得：滿足條件的點P有四個點：分別為.(-
3
2
4
，±
10
4
)，(-
2
2
，±
30
6
)．
點評：本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、兩點之間的距離公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知全集U=R，函數(shù)y=
1+x
+log3（4-x）的定義域為集合A．
（1）求集合A；
（2）集合B={x|2＜x≤10}，求韋恩圖中陰影部分表示的集合C．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點A（1，1），B、C為拋物線y2=x上任意兩點，∠ABC=90°，求AC的最小值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
1
x
，g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若對任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）已知數(shù)列{an}滿足：a1∈[1，2]，且對任意正整數(shù)n，有an+1=an+2n+2，求證：
lna1
a1
+
lna2
a2
+…+
lnan
an
≤
n2
n+1
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx-x2．
（1）當a=2時，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[
1
2
，2]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）+ax，若y=g（x）在（0，3）不單調(diào)，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=a|x-b|+c滿足①f（x+1）為偶函數(shù)；②在R上有大于零的最大值；③函數(shù)f（x）的圖象過坐標原點；④a，b，c∈Z，試寫出一組符合要求a，b，c的值
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
-|x3-2x2+x|(x＜1)
lnx(x≥1)
，若命題“?t∈R，且t≠0，使得f（t）≥kt”是假命題，則實數(shù)k的取值范圍是
 
．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=tx2-4x-2，
（Ⅰ）當t=1時，求函數(shù)f（x）的零點；
（Ⅱ）當t=2且f（x）的定義域為（-1，1），f（1-m）-f（2m-1）＜0，求實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）定義域為R，且在區(qū)間（1，2）上為單調(diào)遞減函數(shù)，求實數(shù)t取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知曲線C1：
x=1+cosθ
y=sinθ
（θ為參數(shù)），直線C2：
x=-2
2
+
1
2
t
y=1-
1
2
t
（t為參數(shù)），在曲線C1求一點，使它到直線C2的距離最小，并求出該點的直角坐標和最小距離．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案