Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

x

，g（x）=x+lnx，其中a＞0，且x∈（0，+∞）．
（1）若a=1，求f（x）的最小值；
（2）若對任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁∈[1，2]，且對任意正整數(shù)n，有a_n+1=a_n+2n+2，求證：

lna1

a1

+

lna2

a2

+…+

lnan

an

≤

n2

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）的最小值；
（2）對任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）-g（x）=（a-1）lnx+

1

x

-x≤0恒成立，對a分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明

ln ai

ai

≤

1

2

（1-

1

ai

），a_n=n（n+1）-2+a₁≤n（n+1），結(jié)合累加法，裂項(xiàng)法，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=lnx+

1

x

，f′（x）=

x-1

x2

，
∴f′（x）＜0，可得0＜x＜1，f′（x）＞0，可得x＞1，
∴函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴x=1時(shí)，f（x）的最小值為1；
（2）對任意x≥1，不等式f（x）≤g（x）恒成立，即h（x）=f（x）-g（x）=（a-1）lnx+

1

x

-x≤0恒成立，
∴h′（x）=-

x2-(a-1)x+1

x2

0＜a≤3時(shí)，△≤0，則h′（x）≤0，即h（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞減，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴h（x）≤h（1）=0恒成立；
a＞3時(shí)，x²-（a-1）x+1=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，
∴x∈（x₂，+∞）時(shí)，x²-（a-1）x+1＞0，則h′（x）＞0，即h（x）在（x₂，+∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（1）=0，∴存在x∈（x₂，+∞）使得h（x）＞h（1）=0，不合題意，
綜上，0＜a≤3；
（3）由（2）知，令a=3，則對任意x≥1，有2lnx+

1

x

-x≤0，即

lnx

x

≤

1

2

（1-

1

x2

），
令x=

ai

≤1，∴

ln ai

ai

≤

1

2

（1-

1

ai

），
∵數(shù)列{a_n}滿足：a₁∈[1，2]，且對任意正整數(shù)n，有a_n+1=a_n+2n+2，
∴由累加法可得a_n=n（n+1）-2+a₁≤n（n+1）
∴

ln ai

ai

≤1-

1

ai

≤1-

1

i(i+1)

=1-（

1

i

-

1

i+1

），
累加，可得

lna1

a1

+

lna2

a2

+…+

lnan

an

≤n-（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）=

n2

n+1

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查不等式的證明，難度大．