Question

9．給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)圖數(shù)f″（x）是函數(shù)f′（x）的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″（x）=0有實數(shù)解x₀，則稱點（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點”．經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）都有“拐點”，且該“拐點”也是該函數(shù)的對稱中心，若f（x）=2x³-3x²+x+2，則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=（　　）

• A． 2015
• B． 2016
• C． 4030
• D． 4032

Answer 1

分析 先求f′（x）的解析式，再求f″（x），由f″（x）=0 求得拐點的橫坐標，代入函數(shù)解析式求拐點的縱坐標，然后利用中心對稱知識，把要求的f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）的值轉(zhuǎn)化為對稱中心點的函數(shù)值．

解答 解：依題意，得：f′（x）=6x²-6x+1，∴f″（x）=12x-6．
由f″（x）=0，即2x-1=0，得：x=$\frac{1}{2}$，
把x=$\frac{1}{2}$代入函數(shù)f（x）的解析式得：f（$\frac{1}{2}$）=2，
∴函數(shù)f（x）的對稱中心為（$\frac{1}{2}$，2）；
則f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2015}{2016}$）=f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{2014}{2016}$）=…=2f（$\frac{1008}{2016}$）=2f（$\frac{1}{2}$），
∴f（$\frac{1}{2016}$）+f（$\frac{2}{2016}$）+f（$\frac{3}{2016}$）+…+f（$\frac{2015}{2016}$）=2015f（$\frac{1}{2}$）=2015×2=4030．
故選：C．

點評 本題考查一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)的求法，函數(shù)的拐點的定義以及函數(shù)圖象關(guān)于某點對稱的條件，解答此題的關(guān)鍵是能夠運用對稱知識把要求解的問題轉(zhuǎn)化為中心對稱點的函數(shù)值問題，此題是中檔題．