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4.已知{an},{bn}均為等比數(shù)列,其前n項和分別為Sn,Tn
(1)若a1=8,b2=24,且對任意的n∈N*,總有SnTn=3n+14,求數(shù)列{nan]的前n項和Pn;
(2)當n≤3時,bn-an=n,若數(shù)列{an}唯一,求Sn

分析 (1)通過在SnTn=3n+14中分別令n=1、2,結(jié)合a1=8、b2=24,可得a2=72、b1=8,進而利用錯位相減法計算即得結(jié)論;
(2)通過bn-an=n(n≤3)整理可知a1q2-4a1q+3a1-1=0,對其根的判別式進行討論即可.

解答 解:(1)依題意,S1T1=a11=3+14=1,S2T2=a1+a21+2=32+14,
又∵a1=8,b2=24,
∴a2=72,b1=8,
又∵數(shù)列{an}、{bn}均為等比數(shù)列,
∴an=8•9n-1,bn=8•3n-1,
∴Pn=8(1•1+2•9+3•92+…+n•9n-1),
9Pn=8[1•9+2•92+…+(n-1)•9n-1+n•9n],
兩式相減得:-8Pn=8(1+9+92+…+9n-1-n•9n),
∴Pn=n•9n-(1+9+92+…+9n-1
=n•9n-19n19
=18+8n18•9n;
(2)依題意,b1=1+a1,b2=2+a2,b3=3+a3
設數(shù)列{an}的公比為q,則
(2+a22=(1+a1)(3+a3),即(2+a1q)2=(1+a1)(3+a1q2),
整理得:a1q2-4a1q+3a1-1=0,
又∵數(shù)列{an}唯一,
∴若上式為完全平方式,則:
當△=4a12-4a1(3a1-1)=4a12+4a1=0時,
解得:a1=-1(舍)或a1=0(舍);
當△>0,且a1q2-4a1q+3a1-1=0有一個零根和非零根時,
由韋達定理可知:3a1-1=0,即a1=13,此時q=4;
當△>0且兩根都不為零時,但是若有一根可以使bn中有項為0,則與bn為等比數(shù)列矛盾,
那么這樣的話關于an的方程雖然兩根都不為0,但使得bn中有0項的那個根由于與題目矛盾所以必須舍去,
這樣an也是唯一的,由此易求出a1=-43,此時q=32(舍)或52
∴當a1=13、q=4時,Sn=1314n14=4n19;
當a1=-43、q=52時,Sn=4315n2n152=82n5n92n

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和,考查錯位相減法,考查運算求解能力,考查分類討論的思想,注意解題方法的積累,屬于難題.

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