Question

12．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥2}\\{x-2y≥-4}\\{3x-y≤3}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為M，若z=2x-y+2a+b（a＞0，b＞0）的最大值為3，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為3$+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 ①畫可行域；②z為目標(biāo)函數(shù)的縱截距；③畫直線z=x-y．平移可得直線過A或B時z有最值．得到a，b關(guān)系式，然后利用基本不等式求解表達(dá)式的最小值．

解答 解：畫不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥2}\\{x-2y≥-4}\\{3x-y≤3}\end{array}\right.$所表示的平面區(qū)域為M如圖，
畫直線z=2x-y+2a+b，
平移直線z=2x-y+2a+b過點A（1，0）時z有最大值3；
則z=2+2a+b=3，解得2a+b=1，a＞0，b＞0，
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）（2a+b）=3+$\frac{2a}$$+\frac{a}$≥3+2$\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}$=3+2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{2}a$，2a+b=1，即a=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，b=$\sqrt{2}-1$時，表達(dá)式取得最小值．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，基本不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．