Question

8．已知偶函數(shù)f（x）滿足f（4+x）=f（4-x），且當(dāng)x∈（0，4]時(shí)，f（x）=$\frac{{ln（{2x}）}}{x}$，關(guān)于x的不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}]$
• B． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}）$
• C． $（{-ln2，-\frac{1}{3}ln6}]$
• D． $（{-\frac{1}{3}ln6，ln2}）$

Answer 1

分析 判斷f（x）在（0，8）上的單調(diào)性，根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，再根據(jù)對(duì)稱性得出不等式在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，從而得出a的范圍．

解答 解：當(dāng)0＜x≤4時(shí)，f′（x）=$\frac{1-ln2x}{{x}^{2}}$，
令f′（x）=0得x=$\frac{e}{2}$，
∴f（x）在（0，$\frac{e}{2}$）上單調(diào)遞增，在（$\frac{e}{2}$，4）上單調(diào)遞減，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x+4）=f（4-x）=f（x-4），
∴f（x）的周期為8，
作出f（x）一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象如圖所示：

∵f（x）是偶函數(shù)，且不等式f²（x）+af（x）＞0在[-200，200]上有且只有200個(gè)整數(shù)解，
∴不等式在（0，200）內(nèi)有100個(gè)整數(shù)解，
∵f（x）在（0，200）內(nèi)有25個(gè)周期，
∴f（x）在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有4個(gè)整數(shù)解，
（1）若a＞0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＞0或f（x）＜-a，
顯然f（x）＞0在一個(gè)周期（0，8）內(nèi)有7個(gè)整數(shù)解，不符合題意；
（2）若a＜0，由f²（x）+af（x）＞0，可得f（x）＜0或f（x）＞-a，
顯然f（x）＜0在區(qū)間（0，8）上無(wú)解，
∴f（x）＞-a在（0，8）上有4個(gè)整數(shù)解，
∵f（x）在（0，8）上關(guān)于直線x=4對(duì)稱，
∴f（x）在（0，4）上有2個(gè)整數(shù)解，
∵f（1）=ln2，f（2）=$\frac{ln4}{2}$=ln2，f（3）=$\frac{ln6}{3}$，
∴f（x）＞-a在（0，4）上的整數(shù)解為x=1，x=2．
∴$\frac{ln6}{3}$≤-a＜ln2，
解得-ln2＜a≤-$\frac{ln6}{3}$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式與函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．