Question

16．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：2S_n=3a_n-6n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$，其中常數(shù)λ＞0，若數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由2S_n=3a_n-6n（n∈N^*），利用遞推關(guān)系化為：a_n+3=3（a_n-1+3），利用等比數(shù)列的通項公式即可得出．
（II）$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，其中常數(shù)λ＞0，利用數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，可得b_n+1＞b_n，化簡即可得出．

解答 解：（I）∵2S_n=3a_n-6n（n∈N^*），∴n=1時，2a₁=3a₁-6，解得a₁=6．
當(dāng)n≥2時，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-6n-[3a_n-1-6（n-1）]，化為：a_n+3=3（a_n-1+3）．
∴數(shù)列{a_n+3}是等比數(shù)列，首項為9，公比為3．
∴a_n+3=9×3^n-1，
∴a_n=3ⁿ⁺¹-3．
（II）$b{\;}_n=\frac{a_n}{λ^n}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，其中常數(shù)λ＞0，
∵數(shù)列{b_n}為遞增數(shù)列，
∴b_n+1＞b_n，
∴$\frac{{3}^{n+2}-3}{{λ}^{n+1}}$＞$\frac{{3}^{n+1}-3}{{λ}^{n}}$，
化為：λ＜$\frac{{3}^{n+1}-1}{{3}^{n}-1}$=3+$\frac{2}{{3}^{n}-1}$．
∵數(shù)列$\{\frac{2}{{3}^{n}-1}\}$單調(diào)遞減，
∴0＜λ≤3．
∴λ的取值范圍是（0，3]．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．