Question

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{2}$，且斜率為$\sqrt{3}$的直線l過橢圓C的焦點及點（0，-2$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知一直線m過橢圓C的左焦點F，交橢圓于點P、Q，若直線m與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點M在x軸上，且使MF為∠PMQ的一條角平分線，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直線l的方程為y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，焦點坐標(biāo)為（2，0），又橢圓C的短軸長為2$\sqrt{2}$，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)點M（m，0），左焦點為F（-2，0），設(shè)直線PQ的方程為x=$\frac{y}{k}-2$，與橢圓聯(lián)立，得（$\frac{1}{{k}^{2}}+3$）y²-$\frac{4y}{k}$-2=0，由此利用韋達定理、角平分線性質(zhì)、橢圓性質(zhì)，結(jié)合已條條件能求出點M坐標(biāo)．

解答 解：（1）由題意可知，直線l的方程為y=$\sqrt{3}x-2\sqrt{3}$，…（1分）
∵直線l過橢圓C的焦點，
∴該焦點坐標(biāo)為（2，0），∴c=2，又橢圓C的短軸長為2$\sqrt{2}$，
∴b=$\sqrt{2}$，∴a²=b²+c²=4+2=6，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)點M（m，0），左焦點為F（-2，0），可設(shè)直線PQ的方程為x=$\frac{y}{k}-2$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{y}{k}-2}\\{\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去x，得（$\frac{1}{{k}^{2}}+3$）y²-$\frac{4y}{k}$-2=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=$\frac{4k}{3{k}^{2}+1}$，y₁•y₂=$\frac{-2{k}^{2}}{3{k}^{2}+3}$，…（8分）
∵MF為∠PMQ的一條角平分線，∴k_PM+k_QM=0，即$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，…（9分）
又${x}_{1}=\frac{{y}_{1}}{k}-2$，${x}_{2}=\frac{{y}_{2}}{k}-2$，代入上式可得$\frac{2}{k}{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）-m（{y}_{1}+{y}_{2}）=0$，
∴$\frac{2}{k}（\frac{-2{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}）-（2+m）（\frac{4k}{1+3{k}^{2}}）=0$，解得m=-3，
∴點M（-3，0）．…（12分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意韋達定理、角平分線性質(zhì)、橢圓性質(zhì)的合理運用．