19．若過橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）左焦點(diǎn)的直線與它的兩個(gè)交點(diǎn)及其右焦點(diǎn)構(gòu)成周長為16的三角形，此橢圓的離心率為0.5，求這個(gè)橢圓方程．

分析 設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)'，兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，由橢圓的定義可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，則4a=16，運(yùn)用離心率公式可得c=2，求得b，進(jìn)而得到橢圓方程．

解答 解：設(shè)左、右焦點(diǎn)分別為F，F(xiàn)'，兩個(gè)交點(diǎn)為A，B，
由橢圓的定義可得|AF|+|AF'|=|BF|+|BF'|=2a，
即有三角形的周長為4a=16，解得a=4，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，解得c=2，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
則橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和基本量的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

19．已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點(diǎn)，且圓C與直線x+y+3=0相切．
（I）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，問x軸上是否存在定點(diǎn)M（x0，0），使得當(dāng)l變動(dòng)時(shí)，總有MA，MB的斜率之和為0？若存在，求出x0的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB=60°，AC=CC1=2，BC=1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；
（Ⅱ）求三棱錐E-ABC1的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

7．近年來空氣污染是生活中一個(gè)重要的話題，PM2.5就是空氣質(zhì)量的其中一個(gè)重要指標(biāo)，各省、市、縣均要進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)測．空氣質(zhì)量指數(shù)要求PM2.5 24小時(shí)濃度均值分：優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染六級(jí)．如圖是某市2015年某月30天的PM2.5 24小時(shí)濃度均值數(shù)據(jù)．

（Ⅰ）根據(jù)數(shù)據(jù)繪制頻率分布表，并求PM2.5 24小時(shí)濃度均值的中位數(shù)；
空氣質(zhì)量
指數(shù)類別		優(yōu)
[0，35]		良
（35，75]		輕度污染
（75，115]		中度污染
（115，150]		重度污染
（150，250]		嚴(yán)重污染
（250，500]		合計(jì)
頻數(shù)      30
頻率      1
（Ⅱ）專家建議，空氣質(zhì)量為優(yōu)、良時(shí)可以正常進(jìn)行某項(xiàng)戶外體育活動(dòng)，輕度污染及以上時(shí)，不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)．若以頻率作為概率，用統(tǒng)計(jì)的結(jié)果分析，在2015年隨機(jī)抽取6天，正常進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)與不宜進(jìn)行該項(xiàng)戶外體育活動(dòng)的天數(shù)的差的絕對(duì)值為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

14．某學(xué)校對(duì)參加“社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)”的全體志愿者進(jìn)行學(xué)分考核，因該批志愿者表現(xiàn)良好，學(xué)校決定考核只有合格和優(yōu)秀兩個(gè)等次，若某志愿者考核我合格，授予1個(gè)學(xué)分；考核為優(yōu)秀，授予2個(gè)學(xué)分，假設(shè)該校志愿者甲、乙、丙考核為優(yōu)秀的概率分別為$\frac{4}{5}，\frac{2}{3}，\frac{2}{3}$，他們考核所得的等次相互獨(dú)立．
（1）求在這次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核為優(yōu)秀的概率；
（2）記在這次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得學(xué)分之和為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的短軸長為2$\sqrt{2}$，且斜率為$\sqrt{3}$的直線l過橢圓C的焦點(diǎn)及點(diǎn)（0，-2$\sqrt{3}$）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知一直線m過橢圓C的左焦點(diǎn)F，交橢圓于點(diǎn)P、Q，若直線m與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)M在x軸上，且使MF為∠PMQ的一條角平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

11．已知橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，雙曲線的焦點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

8．如圖，四棱錐P-ABCD中，△ABC與△PAB均為等邊三角形，AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$CD，PC=$\frac{3}{2}$AB．
（1）若三棱錐P-ABC的體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求四邊形ABCD的面積．
（2）N為DP上一點(diǎn)，且$\overrightarrow{NP}$=$\sqrt{3}$$\overrightarrow{DN}$，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使MN∥平面PBC，若存在．求出$\frac{AM}{AB}$，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

9．命題p：x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}2x+3y-6≤0\\ 2x+y-2≥0\\ x≤2\end{array}\right.$，q：x2+y2＞r2（r＞0），若p是q的充分不必要條件，則r的取值范圍是（0，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）．

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