Question

19．已知圓C的圓心是直線x-y+1=0與x軸的交點，且圓C與直線x+y+3=0相切．
（I）求圓C的標準方程；
（Ⅱ）過原點O的動直線l與圓C交于A、B兩點，問x軸上是否存在定點M（x₀，0），使得當l變動時，總有MA，MB的斜率之和為0？若存在，求出x₀的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （I）直線與圓的位置關系通常利用圓心到直線的距離或數(shù)形結(jié)合的方法求解，欲求圓的方程則先求出圓心和半徑，根據(jù)圓與直線相切建立等量關系，解之即可．
（Ⅱ）分類討論，利用有MA，MB的斜率之和為0，即可得出結(jié)論．

解答 解：（I）令y=0得x=-1，所以直線x-y+1=0，與x軸的交點為（-1，0）
因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，
即r=$\frac{|-1+0+3|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，所以圓C的方程為（x+1）²+y²=2；
（Ⅱ）斜率存在時，設l的方程為y=kx，代入（x+1）²+y²=2，可得（1+k²）x²+2x-1=0，
設A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），則x₁+x₂=-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$
MA，MB的斜率之和=$\frac{k{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{k{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=0，
∴2x₁x₂-x₀（x₁+x₂）=0，
∴2•（-$\frac{1}{1+{k}^{2}}$）-x₀（-$\frac{2}{1+{k}^{2}}$）=0，
∴x₀=1，
斜率不存在時，也滿足．

點評 本題主要考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程以及存在性問題等基礎知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．