Question

20．已知函數(shù)f（x）=（${\sqrt{3}$cosx-sinx）（cosx+$\sqrt{3}$sinx），則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）

• A． 函數(shù)f（x）的最小正周期為π
• B． 函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對(duì)稱(chēng)
• C． 函數(shù)f（x）的圖象可由g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位得到
• D． 函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函數(shù)

Answer 1

分析 將f（x）化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可．

解答 解：函數(shù)$f（x）=（{\sqrt{3}cosx-sinx}）（{cosx+\sqrt{3}sinx}）$，
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\sqrt{3}$cos²x+3sinxcosx-sinxcosx-$\sqrt{3}$sin²x=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）
最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．∴A對(duì)．
令x=$\frac{π}{12}$，即f（$\frac{π}{12}$）=2sin（$\frac{π}{2}$）=2，∴關(guān)于直線$x=\frac{π}{12}$對(duì)稱(chēng)，B對(duì)．
函數(shù)g（x）=2sin2x的圖象向右平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，可得：2sin2（x-$\frac{π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）≠f（x），∴C不對(duì)．
令$-\frac{π}{2}≤$2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$上單調(diào)遞增，可得：$-\frac{5π}{12}≤x≤\frac{π}{12}$，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{4}，0}]$上是增函數(shù)，∴D對(duì)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．