Question

8．已知函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$，當f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，給出下列結(jié)論，其中所有正確結(jié)論的個數(shù)為（　　）
①f（0）=$\frac{π}{3}$；  
②當x∈（0，1）時，函數(shù)f（x）的最大值為2；  
③函數(shù)$f（{x+\frac{1}{6}}）$的圖象關(guān)于y軸對稱；  
④函數(shù)f（x）在（-1，0）上是增函數(shù)．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 將f（x）化簡，根據(jù)f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，可得周期T=2．可得f（x）的解析式，依次判斷下列各選項即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=sinωx+$\sqrt{3}cosωx（{ω＞0}）$=2sin（ωx$+\frac{π}{3}$）．
∵f（x₁）=f（x₂）=2時，|x₁-x₂|的最小值為2，
∴周期T=2，即2=$\frac{2π}{ω}$．
∴ω=π．
∴f（x）=2sin（πx$+\frac{π}{3}$）．
對于①：當x=0時，可得f（0）=2sin$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．∴①不對．
對于②：當x∈（0，1）時，則πx$+\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$），當πx$+\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$，f（x）取得最大值2，∴②對．
對于③：函數(shù)$f（{x+\frac{1}{6}}）$=2sinπ[x$+\frac{1}{6}$）$+\frac{π}{3}$]=2cosπx，圖象關(guān)于y軸對稱，∴③對．
對于④：令$-\frac{π}{2}≤$πx$+\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$是單調(diào)遞增，可得：$-\frac{5}{6}≤x≤\frac{1}{6}$，∴函數(shù)f（x）在（-1，0）上不是增函數(shù)，④不對．
故選：B．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用條件確定解析式是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．