Question

18．設函數f（x）=|x-2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1時，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），求a的值．

Answer 1

分析 （1）a=1時，f（x）≥4可化為|x-2|+|x+1|≥4．去掉絕對值符號解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），則|x-2|+|x+a|=2x的一個根是1，求出a，再進行驗證，即可求a的值．

解答 解：（1）a=1時，f（x）≥4可化為|x-2|+|x+1|≥4．
x＜-1時，2-x-x-1≥4，∴x≤-$\frac{3}{2}$；
-1≤x≤2時，2-x+x+1≥4，無解；
x＞2時，x-2+x+1≥4，∴x≥$\frac{5}{2}$．
綜上所述，不等式的解集為{x|x≤-$\frac{3}{2}$或x≥$\frac{5}{2}$}；
（2）∵不等式f（x）≤2x的解集為[1，+∞），
∴|x-2|+|x+a|=2x的一個根是1，
∴a=0或-2．
a=0時，由|x-2|+|x|≤2x，解得x≥1，合題意；
a=-2時，由2|x-2|≤2x，解得x≥1，合題意；
綜上所述，a=0或-2．

點評 本題主要考查絕對值的意義，絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，屬于中檔題．