Question

試比較（n+1）²與3ⁿ（n∈N^*）的大小，并給出證明（結合數(shù)學歸納法）．

Answer 1

考點：數(shù)學歸納法

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：對n=1，2，3，4，…取值驗證，找出最小的正整數(shù)m等于3，再按照數(shù)學歸納法的步驟進行證明．

解答： 解：當n=1時，（1+1）²＞3¹；
當n=2時，（2+1）²=3²；
當n=3時，（3+1）²＜3³；
當n=4時，（4+1）²＜3⁴，
猜想n≥3時，（n+1）²＜3ⁿ（n∈N^*），
證明：①當n=3時，左邊為16，右邊為27，顯然成立，
②假設當n=k（k＞3）有（k+1）²與3^k（k∈N^*）成立，
當n=k+1時，3^k+1=3^k•3＞3（k+1）²，
而3（k+1）²-（k+2）²=3k²+6k+3-k²-4k-4
=2k²+2k-1，
由于k≥4，則2k-1＞0，即有3（k+1）²＞（k+2）²，
即3^k+1＞（k+2）²．
由①②知，對任意的n≥3，（n+1）²＜3ⁿ（n∈N^*）成立．

點評：本題考查猜想、證明的推理方法，考查數(shù)學歸納法證明命題．注意證明的步驟的應用．