Question

12．已知點A為橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左頂點，B，C兩點在橢圓E上，若四邊形OABC為平行四邊形，O為坐標(biāo)系原點，∠OAB=30°，則橢圓E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{4}$

Answer 1

分析 如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，∠OAB=30°，直線OC的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：x_C．同理聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得x_B．根據(jù)|OA|=|CB|=a，即x_C-x_B=a化簡即可得出．

解答 解：如圖所示，四邊形OABC為平行四邊形，∠OAB=30°，
∴直線OC的方程為：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得：x_C=$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{a}^{2}+3^{2}}}$．
同理聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}（x+a）}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，化為：（a²+3b²）x²+2a³x+a⁴-3a²b²=0．
解得x_B=a$-\frac{2{a}^{3}}{{a}^{2}+3^{2}}$=$\frac{3a^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+3^{2}}$．
∵|OA|=|CB|=a，
∴$\frac{\sqrt{3}ab}{\sqrt{{a}^{2}+3^{2}}}$-$\frac{3a^{2}-{a}^{3}}{{a}^{2}+3^{2}}$=a．
化為：a=3b．
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
故選：A．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．