Question

【題目】已知是函數(shù)的極值點(diǎn).

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.

（參考數(shù)據(jù)：，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明

【解析】

(Ⅰ)根據(jù)，求得實(shí)數(shù)的值，通過導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)單調(diào)，可知時極值點(diǎn)為，滿足題意；

(Ⅱ)由(Ⅰ) 函數(shù)的極小點(diǎn)值位于 ，此時的零點(diǎn)位于，且此為的極小點(diǎn)值點(diǎn)，代入，中，化簡即可得到關(guān)于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)在區(qū)間上的值域即可證明結(jié)論。

解：(Ⅰ)因?yàn)?/span>，且 是極值點(diǎn)，

所以，所以 .

此時 ，設(shè) ，則 .

則當(dāng) 時， 為減函數(shù).

又，

所以在時， ， 為增函數(shù)； 時， ，為減函數(shù).所以為的極大值點(diǎn)，符合題意.

（Ⅱ）當(dāng) 時，，為增函數(shù)，且 ，

所以存在 當(dāng) 時， ，為減函數(shù)； 時， ， 為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn) .

又 ，已知 ，可得 ，

所以，所以 ，

且滿足 .

所以 .

其中也可以用如下方式證明：

，設(shè) ，

則.

則當(dāng) 時， ，為減函數(shù)；當(dāng) 時，， 為增函數(shù).

所以

所以在 ，所以