【題目】已知是橢圓：的左焦點，O為坐標(biāo)原點，為橢圓上的點．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點都在橢圓上，且中點在線段（不包括端點）上，求面積的最大值，及此時直線的方程.

【答案】（1）；（2）面積的最大值為1，此時直線的方程為

【解析】

（1）依題意可得，求出，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)，，，易知直線AB的斜率存在，設(shè)為k，將兩點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，所得兩式相減，可得到，進(jìn)而可求出k的值，從而設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，分別表示出弦長及點O到直線AB的距離，從而可求得面積的表達(dá)式，進(jìn)而求出最大值，并求得此時直線的方程.

（1）依題意可得，

即，解得，則．

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，，，

依題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)為k，

則，所以，

即，

又，，，所以，

又直線OP：，M在線段OP上，所以，所以．

設(shè)直線AB的方程為，

聯(lián)立方程，可得，

，，，

且，即，解得，

所以，，

又點O到直線AB的距離，

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即舍去時，等號成立，此時直線方程為.

所以面積的最大值為1，此時直線的方程為.

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【題目】已知橢圓的左焦點為，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩個動點，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，的周長恰為．

（1）求橢圓的方程；

（2）過點作直線交橢圓于兩點，且 ，求面積的取值范圍．

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（I）若為上的一點，且與直線垂直，求的值；

（Ⅱ）在（I）的條件下，設(shè)異面直線與所成的角為45°，求直線與平面成角的正弦值.

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（Ⅰ）求實數(shù)的值；

（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點，且.

（參考數(shù)據(jù)：，，其中為自然對數(shù)的底數(shù)）

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（1）寫出直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）平移直線使其經(jīng)過曲線的焦點，求平移后的直線的極坐標(biāo)方程.

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），，為曲線上的一動點.

（I）求動點對應(yīng)的參數(shù)從變動到時，線段所掃過的圖形面積；

（Ⅱ）若直線與曲線的另一個交點為，是否存在點，使得為線段的中點？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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【題目】某公司代理銷售某種品牌小商品，該產(chǎn)品進(jìn)價為5元/件，銷售時還需交納品牌使用費(fèi)3元/件，售價為元/件，其中，且．根據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)，且時，每月的銷售量（萬件）與成正比；當(dāng)，且時，每月的銷售量（萬件）與成反比．已知售價為15元/件時，月銷售量為9萬件．

（1）求該公司的月利潤（萬件）與每件產(chǎn)品的售價（元）的函數(shù)關(guān)系式；

（2）當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時，該公司的月利潤最大？并求出最大值．

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