Question

14．已知$\overrightarrow a，\overrightarrow b，\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個向量，其中$\overrightarrow a=（1，-3）$．
（1）若$|\overrightarrow c|=2\sqrt{10}$，且$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐標；
（2）若$|\overrightarrow b|=\sqrt{5}$，且$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$與$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，由數(shù)乘向量的坐標公式可得$\overrightarrow{c}$=（λ，-3λ），又由向量模的計算公式可得λ的值，代入$\overrightarrow{c}$的坐標中即可得答案．
（2）由數(shù)量積的性質(zhì)可得$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$•$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$=0，可得關(guān)于θ的關(guān)系式，結(jié)合向量夾角的范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于$\overrightarrow c∥\overrightarrow a$，且$\overrightarrow a=（1，-3）$．
則設(shè)$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$，則$\overrightarrow{c}$=λ（1，-3）=（λ，-3λ），
又由$|\overrightarrow c|=2\sqrt{10}$，
則有（λ）²+（-3λ）²=40，
解可得λ=±2，
則$\overrightarrow{c}$=（2，-6）或（-2，6）；
（2）若$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）$與$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$垂直，
則有$（\overrightarrow a+\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）={\overrightarrow a^2}-\overrightarrow a•\overrightarrow b-2{\overrightarrow b^2}$=$|\overrightarrow a{|^2}-|\overrightarrow a||\overrightarrow b|cosθ-2|\overrightarrow b{|^2}$=$10-\sqrt{10}×\sqrt{5}cosθ-2×5=0$，
∴cos=0，則$θ=\frac{π}{2}$．

點評 本題考查向量的數(shù)量積運算，涉及向量共線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握向量的數(shù)量積的計算公式．