Question

5．在R上的可導函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}a{x^2}+2bx+c$，極大值點x₁∈（0，1），極小值點x₂∈（1，2），則$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是（　　）

• A． $（-\frac{1}{2}，\frac{1}{4}）$
• B． $（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$
• C． $（\frac{1}{4}，1）$
• D． $（\frac{1}{2}，1）$

Answer 1

分析 求出導函數(shù)，由當x∈（0，1）時取得極大值，當x∈（1，2）時取得極小值求出f′（0），f′（1），f′（2），判斷出它們的符號，得到所求的范圍即可．

解答 解：f′（x）=x²+ax+2b，
由函數(shù)當x∈（0，1）時取得極大值，
當x∈（1，2）時取得極小值：
f′（0）=2b＞0；
f′（1）=1+a+2b＜0；
f′（2）=4+2a+2b＞0；
根據(jù)條件$\left\{\begin{array}{l}{a+2b＜-1}\\{a+b＞-2}\end{array}\right.$，
畫出滿足條件的平面區(qū)域，
而$\frac{b-2}{a-1}$表示平面區(qū)域內(nèi)的點與過P（1，2）的直線的斜率，
結(jié)合圖象，K_AP=$\frac{1}{4}$，K_PC=1，
所以 $\frac{b-2}{a-1}$∈（$\frac{1}{4}$，1），
故選：C．

點評 考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力，以及會進行簡單的線性規(guī)劃的能力．