Question

某人準(zhǔn)備購(gòu)置一塊占地1800平方米的矩形地塊，中間建三個(gè)矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路（陰影部分所示），大棚所占地面積為S平方米，其中a：b=1：2
（1）試用x，y表示S
（2）若要使S最大，則x，y的值各為多少？

Answer 1

分析：（1）由題可得：xy=1800，b=2a，從而y=a+b+3=3a+3，因而可求大棚所占地面積；
（2）方法一：S=1808-3x-

8

3

×

1800

x

=1808-(3x+

4800

x

)，利用基本不等式可求S最大；
方法二：設(shè) S=f(x)=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)法，可求S的最大值．

解答：解：（1）由題可得：xy=1800，b=2a，
則y=a+b+3=3a+3…（4分）
∴S=(x-2)a+(x-3)×b=(3x-8)a=(3x-8)

y-3

3

=1808-3x-

8

3

y．…（8分）
（2）方法一：S=1808-3x-

8

3

×

1800

x

=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），…（10分）≤1808-2

3x× 4800 x

=1808-240=1568，…（14分）
當(dāng)且僅當(dāng)3x=

4800

x

，即x=40時(shí)取等號(hào)，S取得最大值．此時(shí)y=

1800

x

=45．
所以當(dāng)x=40，y=45時(shí)，S取得最大值   …（16分）
方法二：設(shè) S=f(x)=1808-(3x+

4800

x

)（x＞0），…（10分）
f′(x)=

4800

x2

-3=

3(40-x)(40+x)

x2

，…（12分）
令f′（x）=0得x=40，
當(dāng)0＜x＜40時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x＞40時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x=40時(shí)，S取得最大值．此時(shí)y=45
所以當(dāng)x=40，y=45時(shí)，S取得最大值．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查利用基本不等式或?qū)��?shù)法求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)模型．