18.已知a>0,b>0,a2+b2-6a=0,則ab的最大值為( 。
A.$\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$B.9C.$\frac{81}{4}$D.$\frac{27}{4}$

分析 根據(jù)題意可得9=(a-3)2+b2,設a=3cosθ+3,b=3sinθ,根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關系可得ab=36(1-sin2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$,設sin$\frac{θ}{2}$=x,則0<x<1,令f(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{3}{2}}$•x,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值得關系求出最大值即可.

解答 解:∵a>0,b>0,配方為9=(a-3)2+b2,
設a=3cosθ+3,b=3sinθ,
∴ab=(3cosθ+3)•3sinθ=9×2cos2$\frac{θ}{2}$•2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$
=36(cos2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$=36(1-sin2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$,
再設sin$\frac{θ}{2}$=x,則0<x<1
令f(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{3}{2}}$•x,
∴f′(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{1}{2}}$((1-4x2),
令f′(x)=0,解得x=$\frac{1}{2}$,
當0<x<$\frac{1}{2}$,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增,
當$\frac{1}{2}$<x<1,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減,
∴f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=(1-$\frac{1}{4}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$,
∴ab的最大值為36×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$
故選:A

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)最值的關系,關鍵采用換元,本題兩次換元,考查了學生的轉化能力和運算能力,屬于難題.

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