A. | $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$ | B. | 9 | C. | $\frac{81}{4}$ | D. | $\frac{27}{4}$ |
分析 根據(jù)題意可得9=(a-3)2+b2,設a=3cosθ+3,b=3sinθ,根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關系可得ab=36(1-sin2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$,設sin$\frac{θ}{2}$=x,則0<x<1,令f(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{3}{2}}$•x,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值得關系求出最大值即可.
解答 解:∵a>0,b>0,配方為9=(a-3)2+b2,
設a=3cosθ+3,b=3sinθ,
∴ab=(3cosθ+3)•3sinθ=9×2cos2$\frac{θ}{2}$•2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$
=36(cos2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$=36(1-sin2$\frac{θ}{2}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$,
再設sin$\frac{θ}{2}$=x,則0<x<1
令f(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{3}{2}}$•x,
∴f′(x)=(1-x2)${\;}^{\frac{1}{2}}$((1-4x2),
令f′(x)=0,解得x=$\frac{1}{2}$,
當0<x<$\frac{1}{2}$,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調遞增,
當$\frac{1}{2}$<x<1,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調遞減,
∴f(x)max=f($\frac{1}{2}$)=(1-$\frac{1}{4}$)${\;}^{\frac{3}{2}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$,
∴ab的最大值為36×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$
故選:A
點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)最值的關系,關鍵采用換元,本題兩次換元,考查了學生的轉化能力和運算能力,屬于難題.
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A. | b<a<c | B. | a<b<c | C. | b<c<a | D. | c<a<b |
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A. | {x|-2≤x<0或3<x≤4} | B. | {x|-2≤x≤0或3≤x≤4} | C. | {x|-2<x≤4} | D. | {x|0<x<3} |
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A. | $\frac{π}{6}$,$\sqrt{2}$ | B. | $\frac{π}{4}$,2 | C. | $\frac{π}{3}$,$\sqrt{6}$ | D. | $\frac{3π}{4}$,2 |
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A. | (2016,2017) | B. | (2016,2017] | C. | [2016,2017) | D. | (-2016,2017) |
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A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 2 | C. | $\frac{7}{3}$ | D. | 3 |
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