Question

18．已知a＞0，b＞0，a²+b²-6a=0，則ab的最大值為（　�。�

• A． $\frac{{27\sqrt{3}}}{4}$
• B． 9
• C． $\frac{81}{4}$
• D． $\frac{27}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)題意可得9=（a-3）²+b²，設a=3cosθ+3，b=3sinθ，根據(jù)二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關系可得ab=36（1-sin²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$，設sin$\frac{θ}{2}$=x，則0＜x＜1，令f（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$•x，根據(jù)導數(shù)和函數(shù)最值得關系求出最大值即可．

解答 解：∵a＞0，b＞0，配方為9=（a-3）²+b²，
設a=3cosθ+3，b=3sinθ，
∴ab=（3cosθ+3）•3sinθ=9×2cos²$\frac{θ}{2}$•2sin$\frac{θ}{2}$cos$\frac{θ}{2}$
=36（cos²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$=36（1-sin²$\frac{θ}{2}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$sin$\frac{θ}{2}$，
再設sin$\frac{θ}{2}$=x，則0＜x＜1
令f（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{3}{2}}$•x，
∴f′（x）=（1-x²）${\;}^{\frac{1}{2}}$（（1-4x²），
令f′（x）=0，解得x=$\frac{1}{2}$，
當0＜x＜$\frac{1}{2}$，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調遞增，
當$\frac{1}{2}$＜x＜1，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調遞減，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=（1-$\frac{1}{4}$）${\;}^{\frac{3}{2}}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{16}$，
∴ab的最大值為36×$\frac{3\sqrt{3}}{16}$=$\frac{27\sqrt{3}}{4}$
故選：A

點評 本題考查了導數(shù)和函數(shù)最值的關系，關鍵采用換元，本題兩次換元，考查了學生的轉化能力和運算能力，屬于難題．