Question

6．已知定義在R上的函數(shù)f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$．
（1）若f（x）=$\frac{3}{2}$，求x的值；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化簡(jiǎn)f（x）去掉絕對(duì)值，直接進(jìn)行帶值計(jì)算即可．
（2）求出f（2t），f（t）帶入，構(gòu)造指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)對(duì)t∈[1，2]恒成立求解．

解答 解：由題意：f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{|x|}}$定義在R上的函數(shù)，
∴$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}，（x＞0）}\\{0，（x≤0）}\end{array}\right.$
（1）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=0，無(wú)解
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$，
由f（x）=$\frac{3}{2}$，即：2^x-$\frac{1}{{2}^{x}}$=$\frac{3}{2}$，
化簡(jiǎn)：2•2^2x-3•2^x-2=0
因式分解：（2^x-2）（2•2^x+2）=0
解得：解得2^x=2或2^x=-$\frac{1}{2}$，
∵2^x＞0，
故：x=1．
（2）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，
f（2t）=${2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}$，f（t）=${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$
那么：${2}^{t}（{2}^{2t}-\frac{1}{{2}^{2t}}）+m$（${2}^{t}-\frac{1}{{2}^{t}}$）≥0
整理得：m（2^2t-1）≥-（2^4t-1）
∵2^2t-1＞0，∴m≥-（2^2t+1）恒成立即可．
∵t∈[1，2]，∴-（2^2t+1）∈[-17，-5]．
要使m≥-（2^2t+1）恒成立，只需m≥-5
故：m的取值范圍是[-5，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及運(yùn)用能力和化簡(jiǎn)能力，取值范圍問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題．屬于中檔題．