Question

6．等腰Rt△ABO內(nèi)接于拋物線y²=4x，O為拋物線的頂點(diǎn)，若OA⊥OB，則△ABO的面積是16．

Answer 1

分析 設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用OA=OB可求得x₁=x₂，進(jìn)而可求得AB的值，從而可得S_△OAB．

解答 解：設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁²=4x₁，y₁²=4x₂，
由OA=OB得：x₁²+y₁²=x₂²+y₂²，
∴x₁²-x₂²+2px₁-2px₂=0，即（x₁-x₂）（x₁+x₂+4）=0，
∵x₁＞0，x₂＞0，4＞0，
∴x₁=x₂，即A，B關(guān)于x軸對(duì)稱．
∴直線OA的方程為：y=xtan45°=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴AB=8，
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4×8$=16．
故答案為：16．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得A，B關(guān)于x軸對(duì)稱是關(guān)鍵，考查分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．