6.等腰Rt△ABO內(nèi)接于拋物線y2=4x,O為拋物線的頂點(diǎn),若OA⊥OB,則△ABO的面積是16.

分析 設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),利用OA=OB可求得x1=x2,進(jìn)而可求得AB的值,從而可得S△OAB

解答 解:設(shè)等腰直角三角形OAB的頂點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=4x1,y12=4x2,
由OA=OB得:x12+y12=x22+y22,
∴x12-x22+2px1-2px2=0,即(x1-x2)(x1+x2+4)=0,
∵x1>0,x2>0,4>0,
∴x1=x2,即A,B關(guān)于x軸對(duì)稱.
∴直線OA的方程為:y=xtan45°=x,
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x}\end{array}\right.$解得:$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=4}\end{array}\right.$,
∴AB=8,
${S}_{△OAB}=\frac{1}{2}×4×8$=16.
故答案為:16.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),求得A,B關(guān)于x軸對(duì)稱是關(guān)鍵,考查分析與運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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