Question

用坐標法證明：在△ABC中，AO為BC邊上的中線，則|AB|²+|AC|²=2（|AO|²+|BO|²）

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：以D為坐標原點、BC所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖，設C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分別計算出|AB|²、|AC|²、|AO|²和|OC|²關于a、b、c的式子，再進行比較即可證出原等式成立．

解答： 證明：以O為坐標原點，BC所在直線為x軸建立如圖坐標系
設C（c，0），B（-c，0），A（a，b）
∴|AB|²=（a+c）²+b²，|AC|²=（a-c）²+b²
可得：|AB|²+|AC|²=[（a+c）²+b²]+[（a-c）²+b²]=2（a²+b²+c²）
∵|AO|²=a²+b²，|AC|²=c²．
∴2（|AO|²+|AC|²）=2（a²+b²+c²）
因此，|AB|²+|AC|²=2（|AO|²+|AC|²），原命題得證

點評：本題給出三角形的中線，求證與之相關的一個平方等式成立．著重考查了三角形中線的性質(zhì)和運用坐標法證明幾何性質(zhì)等知識，屬于基礎題