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14.如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1+x)n>1+nx.

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),證明不等式成立;(2)假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時(shí)命題成立,用上歸納假設(shè),去證明則當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立即可.

解答 證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),∵x≠0,∴(1+x)2=1+2x+x2>1+2x,不等式成立;
(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),不等式成立,即(1+x)k>1+kx
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x,
∴當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立
由(1)(2)可知,不等式成立.

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì) 解答,注意放縮法的合理運(yùn)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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5.在極坐標(biāo)系中.點(diǎn)A(1,\frac{π}{3}),B(2,\frac{π}{3}).動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足PA=\frac{1}{2}PB.則動(dòng)點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ=\frac{2}{3}cosθ+\frac{2\sqrt{3}}{3}sinθ.

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2.2016年元旦來(lái)臨之際,某網(wǎng)站舉行一次促銷(xiāo)答題話(huà)動(dòng),若在網(wǎng)站給出一道多項(xiàng)選擇題,答題者選出所有的正確選的概率為m,此時(shí)送出50元優(yōu)惠券,選出一部分(沒(méi)有全部選出,但也沒(méi)有選出錯(cuò)誤項(xiàng))的概率為n,此時(shí)送出20元優(yōu)惠券,選出錯(cuò)誤選項(xiàng)(即包含錯(cuò)誤選項(xiàng))的概率為0.2,此時(shí)不送優(yōu)惠券,則\frac{1}{m}+\frac{9}{n}的最小值為( �。�
A.10B.20C.25D.30

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9.當(dāng)n∈N*時(shí),Sn=1+2+3+…+(n+3),Tn=\frac{(n+3)(n+4)}{2}
(Ⅰ)求S1,S2,T1,T2;
(Ⅱ)猜想Sn與Tn的數(shù)量關(guān)系,并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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19.已知橢圓C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1(a>b>0)的右頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,離心率為\frac{\sqrt{2}}{2},過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l交橢圓C于M、N兩點(diǎn),當(dāng)l垂直于x軸時(shí),△AMN的面積為\frac{2+\sqrt{2}}{2}
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線(xiàn)x=-2上存在點(diǎn)P,使得△PMN為等邊三角形,求直線(xiàn)l的方程.

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6.一個(gè)球與正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切,已知這個(gè)球的體積為36π,那么該三棱柱的體積是162\sqrt{3}

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3.2015年秋季開(kāi)始,本市初一學(xué)生開(kāi)始進(jìn)行開(kāi)放性科學(xué)實(shí)踐活動(dòng),學(xué)生可以在全市范圍內(nèi)進(jìn)行自主選課類(lèi)型活動(dòng),選課數(shù)目、選課課程不限.為了了解學(xué)生的選課情況,某區(qū)有關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取本區(qū)600名初一學(xué)生,統(tǒng)計(jì)了他們對(duì)于五類(lèi)課程的選課情況,用“+”表示選,“-”表示不選.結(jié)果如表所示:
人數(shù)   課程課程一課程二課程三課程四課程五
  50++-+-
  80++---
  125+-+-+
  150-+++-
  94+--++
  76--++-
  25--+-+
(1)估計(jì)學(xué)生既選了課程三,又選了課程四的概率;
(2)估計(jì)學(xué)生在五項(xiàng)課程中,選了三項(xiàng)課程的概率;
(3)如果這個(gè)區(qū)的某學(xué)生已經(jīng)選了課程二,那么其余四項(xiàng)課程中他選擇哪一項(xiàng)的可能性最大?

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3.已知0<θ<\frac{π}{2},f(θ)=1+m+m(\frac{cosθ-1}{sinθ})+\frac{sinθ-1}{cosθ}(m>0),則使得f(θ)有最大值時(shí)的m的取值范圍是( �。�
A.\frac{1}{2},2)B.\frac{1}{3},3)C.[1,3]D.[\frac{1}{4},1]

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