Processing math: 84%
19.已知橢圓C:x2a2+y22=1(a>b>0)的右頂點為A,左焦點為F,離心率為22,過點F的直線l交橢圓C于M、N兩點,當l垂直于x軸時,△AMN的面積為2+22
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線x=-2上存在點P,使得△PMN為等邊三角形,求直線l的方程.

分析 (1)把x=-c代入橢圓方程可得:y2=2a2a2c2,解得y,可得|MN|=22a,利用△AMN的面積2+22=12|MN||AF|,化為:2b2(a+c)=(2+2a),與ca=22,a2=b2+c2聯(lián)立解出即可得出.
(2)設(shè)P(-2,t),M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點Q(x0,y0),F(xiàn)(-1,0).直線MN的斜率為0時,不滿足題意.設(shè)直線MN的方程為:my=x+1,m=0時,MN⊥x軸,可得△PMN不是等邊三角形,舍去.m≠0時.與橢圓方程聯(lián)立化為:(m2+2)y2-2my-1=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標公式,及其PQ⊥MN,可得:t(m2+2)=3m+2m3.再利用|PQ|=32|MN|化簡即可得出.

解答 解:(1)把x=-c代入橢圓方程可得:y2=2a2a2c2,解得y=±2a,∴|MN|=22a,∴△AMN的面積2+22=12|MN||AF|=12×22a×(a+c),化為:2b2(a+c)=(2+2a),與ca=22,a2=b2+c2聯(lián)立解得:c=b=1,a=2
∴橢圓的標準方程為:x22+y2=1.
(2)設(shè)P(-2,t),M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點Q(x0,y0),F(xiàn)(-1,0).
直線MN的斜率為0時,不滿足題意.
設(shè)直線MN的方程為:my=x+1,
m=0時,MN⊥x軸,
|MN|=22a=2,點F到直線x=-2的距離d=1,△PMN不是等邊三角形,舍去.
m≠0時.
聯(lián)立{my=x+1x22+y2=1,化為:(m2+2)y2-2my-1=0.
∴y1+y2=2mm2+2,y1y2=1m2+2
∴y0=y1+y22=mm2+2,x0=my0-1=2m2+2
∵PQ⊥MN,∴tmm2+22+2m2+2×1m=-1,化為:t(m2+2)=3m+2m3
|PQ|=|2tm+1|1+m2=|tm+1|1+m2
|MN|=1+m2[y1+y224y1y2]=221+m22+m2
又|PQ|=32|MN|,∴|tm+1|1+m2=32×221+m22+m2
化為:(tm+1)(2+m2)=6(1+m21+m2
與t(m2+2)=3m+2m3聯(lián)立可得:m2=12,解得m=±22
∴直線MN的方程為:2x±y+2=0.

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、等邊三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

9.作出參數(shù)方程\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ+1}\\{y{=sin}^{2}θ-1}\end{array}\right. (θ為參數(shù),0≤θ≤2π)所表示的圖象.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

10.已知集合A={0,\frac{π}{6$,$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{3}$,$\frac{π}{2}$,$\frac{2π}{3}$,$\frac{3π}{4}$,$\frac{5π}{6}$,π}.現(xiàn)從集合A中隨機選取一個元素,則該元素的 余弦值為正數(shù)的概率為\frac{4}{9}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.已知動圓過定點A(3,0),且與圓(x+3)2+y2=64相切,則動圓的圓心P的軌跡是(  )
A.B.橢圓C.拋物線D.雙曲線

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

14.如果x是實數(shù),且x>-1,x≠0,n為大于1的自然數(shù),用數(shù)學歸納法證明:(1+x)n>1+nx.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.運行如圖所示的程序框圖,輸出的S=-1.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.已知直角三角形PMN的直角頂點為P,且M、N的坐標分別為(1,5),(-3,1),求動點P的軌跡方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.已知橢圓w:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)過點(0,\sqrt{2}),橢圓w上任意一點到兩焦點的距離之和為4.
(Ⅰ)求橢圓w的方程;
(Ⅱ)如圖,設(shè)直線l:y=kx(k≠0)與橢圓w交于P,A兩點,過點P(x0,y0)作PC⊥x軸,垂足為點C,直線AC交橢圓w于另一點B.
①用直線l的斜率k表示直線AC的斜率;
②寫出∠APB的大小,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.如圖,給出的是計算1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+…+\frac{1}{99}+\frac{1}{101}的值的一個程序框圖,判斷框內(nèi)應填入的條件是(  )
A.i<101?B.i>101?C.i≤101?D.i≥101?

查看答案和解析>>

同步練習冊答案