分析 (1)把x=-c代入橢圓方程可得:y2=2a2(a2−c2),解得y,可得|MN|=22a,利用△AMN的面積2+√22=12|MN||AF|,化為:2b2(a+c)=(2+√2a),與ca=√22,a2=b2+c2聯(lián)立解出即可得出.
(2)設(shè)P(-2,t),M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點Q(x0,y0),F(xiàn)(-1,0).直線MN的斜率為0時,不滿足題意.設(shè)直線MN的方程為:my=x+1,m=0時,MN⊥x軸,可得△PMN不是等邊三角形,舍去.m≠0時.與橢圓方程聯(lián)立化為:(m2+2)y2-2my-1=0.利用根與系數(shù)的關(guān)系及其中點坐標公式,及其PQ⊥MN,可得:t(m2+2)=3m+2m3.再利用|PQ|=√32|MN|化簡即可得出.
解答 解:(1)把x=-c代入橢圓方程可得:y2=2a2(a2−c2),解得y=±2a,∴|MN|=22a,∴△AMN的面積2+√22=12|MN||AF|=12×22a×(a+c),化為:2b2(a+c)=(2+√2a),與ca=√22,a2=b2+c2聯(lián)立解得:c=b=1,a=√2.
∴橢圓的標準方程為:x22+y2=1.
(2)設(shè)P(-2,t),M(x1,y1),N(x2,y2),線段MN的中點Q(x0,y0),F(xiàn)(-1,0).
直線MN的斜率為0時,不滿足題意.
設(shè)直線MN的方程為:my=x+1,
m=0時,MN⊥x軸,
|MN|=22a=√2,點F到直線x=-2的距離d=1,△PMN不是等邊三角形,舍去.
m≠0時.
聯(lián)立{my=x+1x22+y2=1,化為:(m2+2)y2-2my-1=0.
∴y1+y2=2mm2+2,y1y2=−1m2+2.
∴y0=y1+y22=mm2+2,x0=my0-1=−2m2+2.
∵PQ⊥MN,∴t−mm2+2−2+2m2+2×1m=-1,化為:t(m2+2)=3m+2m3.
|PQ|=|−2−tm+1|√1+m2=|tm+1|√1+m2.
|MN|=√(1+m2)[(y1+y2)2−4y1y2]=2√2(1+m2)2+m2.
又|PQ|=√32|MN|,∴|tm+1|√1+m2=√32×2√2(1+m2)2+m2,
化為:(tm+1)(2+m2)=√6(1+m2)√1+m2.
與t(m2+2)=3m+2m3聯(lián)立可得:m2=12,解得m=±√22.
∴直線MN的方程為:√2x±y+√2=0.
點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交弦長問題、一元二次的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式、等邊三角形的性質(zhì),考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | i<101? | B. | i>101? | C. | i≤101? | D. | i≥101? |
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com