Question

11．已知點(diǎn)A（-2，0），圓C：x²-4x+y²-4y+4=0，過點(diǎn)A的直線l與圓C相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P，Q，線段PQ的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|OM|的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，CM⊥AQ，可得點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓，即可求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）利用圓的參數(shù)方程，即可求|OM|的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，CM⊥AQ，
∴點(diǎn)M的軌跡是以AC為直徑的圓（圓內(nèi)部分及交點(diǎn)），
∵A（-2，0），C（2，2），
∴|AC|=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
∴點(diǎn)M的軌跡方程是x²+（y-1）²=5（$\frac{2}{5}$＜x＜2）；
（2）由（1）x=$\frac{2}{5}$，y=$\frac{16}{5}$，|OM|=$\frac{2\sqrt{65}}{5}$，x=2，y=0，|OM|=2，
∴|OM|的取值范圍是（$\frac{2\sqrt{65}}{5}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查參數(shù)方法的運(yùn)用，確定M的軌跡方程是關(guān)鍵．