Question

12．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左，右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的直線，與C交于A，B兩點，且△ABF₂的周長為8．當(dāng)直線AB的斜率為$\frac{3}{4}$時，AF₂與x軸垂直．
（I）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）在x軸上是否存在定點M，總能使MF₁平分∠AMB？說明理由．

Answer 1

分析 （I）由題意可知：4a=8，則a=2，由題意可知：tan∠AF₁F₂=$\frac{丨A{F}_{1}丨}{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，即可求得b的值，求得橢圓方程；
（Ⅱ）方法一：假設(shè)存在點（m，0），使MF₁平分∠AMB，設(shè)直線l方程y=k（x+1），代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知：k_MA+k_MB=0，即可求得m的值；
方法二：設(shè)直線AB為x=ty-1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及直線的斜率公式可知：k_MA+k_MB=0，即可求得m的值．

解答 解：（I）由橢圓的定義可知△ABF₂的周長4a=8，則a=2，
由直線AB的斜率為$\frac{3}{4}$時，AF₂與x軸垂直，則tan∠AF₁F₂=$\frac{丨A{F}_{1}丨}{丨{F}_{1}{F}_{2}丨}$=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c}$=$\frac{3}{4}$，
則b²=3c，由b²=a²-c²=4-c²，
則b=$\sqrt{3}$，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）方法一：假設(shè)存在點（m，0），使MF₁平分∠AMB，
由直線l的斜率顯然存在，設(shè)直線l方程y=k（x+1），（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=1，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
假設(shè)存在m，由x軸平分∠AMB可得，k_MA+k_MB=0，
即$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}-0}{{x}_{2}-m}$=0，
k（x₁+1）（x₂-m）+k（x₂+1）（x₁-m）=0，
∴2x₁•x₂-（m-1）（x₁+x₂）-2m=0，
∴8k²-24+8k²m-8k²-6m-8mk²=0，
解得：m=-4．
故存在點M（-4，0），使MF₁平分∠AMB．
方法二：假設(shè)存在點（m，0），使MF₁平分∠AMB，
由（I）可知：F₁（-1，0），設(shè)直線AB為x=ty-1，（t≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則$\left\{\begin{array}{l}{x=ty-1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，（3t²+4）y²-6ty-9=0，
則y₁+y₂=$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$，
假設(shè)存在（m，0），由MF₁平分∠AMB可得，k_MA+k_MB=0，
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-m}$=0，即y₁（x₁-m）+y₂（x₁-m）=0，
即y₁（ty₂-1）+y₂（ty₁-1）-m（y₁+y₂）=0，
∴2ty₁y₂-（1+m）（y₁+y₂）=0，
2t×（-$\frac{9}{3{t}^{2}+4}$）-（1-m）（$\frac{6t}{3{t}^{2}+4}$）=0，則1+m=-3，
解得：m=-4，
故存在點M（-4，0），使MF₁平分∠AMB．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，直線的斜率公式，考查計算能力，屬于中檔題．