Question

【題目】在四棱柱中，底面，底面為菱形，為與交點，已知，．

（I）求證：平面．

（II）在線段上是否存在一點，使得平面，如果存在，求的值，如果不存在，請說明理由．

（III）設點在內（含邊界），且，求所有滿足條件的點構成的圖形，并求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）（3）構成的圖形是線段，包括端點，

【解析】試題分析：（1）由線面垂直得，由菱形性質得，再根據(jù)線面垂直判定定理得平面，（2）連接交于點，當是中點，由平幾知識可得是平行四邊形，即得，再由線面平行判定定理得結論（3）由線面垂直性質與判定定理可得，即得點構成的圖形是線段，再利用三角形面積求O到直線距離，即得的最小值．

試題解析：（I）證明：∵底面，

∴底面，

又平面，

∴，

∵為菱形，

∴，

而，

∴平面．

（II）存在點，當是中點，即時，平面．

證明：連接，交于點，連接，則是中點，

∵，且，分別是，的中點，

∴是平行四邊形，

∴，

又平面，平面，

∴平面，

∴當點與點重合時，平面，

此時，．

（III）在內，滿足的點構成的圖形是線段，包括端點，

連接，則，

∵，

∴要使，只需，從而需，

又在中，，

又為中點，

∴，

故點一定在線段上，

當時，取最小值．

在直角三角形中，，，，

所以