Question

2．已知函數(shù)f（x）=e^x+x²-x，g（x）=x²+ax+b，a，b∈R．
（Ⅰ）當a=1時，求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點（0，1）處的切線l與曲線y=g（x）切于點（1，c），求a，b，c的值；
（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求a+b的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)切線方程求出a，b，c的值即可；
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-g（x），求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，問題轉化為b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1），得到a+b≤2（a+1）-（a+1）ln（a+1）-1，
令G（x）=2x-xlnx-1，x＞0，根據(jù)函數(shù)的單調性求出a+b的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=e^x-2x-b，則F'（x）=e^x-2．
令F'（x）=e^x-2＞0，得x＞ln2，所以F（x）在（ln2，+∞）上單調遞增．
令F'（x）=e^x-2＜0，得x＜ln2，所以F（x）在（-∞，ln2）上單調遞減．…（4分）
（Ⅱ）因為f'（x）=e^x+2x-1，所以f'（0）=0，所以l的方程為y=1．
依題意，$-\frac{a}{2}=1$，c=1．
于是l與拋物線g（x）=x²-2x+b切于點（1，1），
由1²-2+b=1得b=2．
所以a=-2，b=2，c=1．…（8分）
（Ⅲ）設h（x）=f（x）-g（x）=e^x-（a+1）x-b，則h（x）≥0恒成立．
易得h'（x）=e^x-（a+1）．
（1）當a+1≤0時，
因為h'（x）＞0，所以此時h（x）在（-∞，+∞）上單調遞增．
①若a+1=0，則當b≤0時滿足條件，此時a+b≤-1；
②若a+1＜0，取x₀＜0且${x_0}＜\frac{1-b}{a+1}$，
此時$h（{x_0}）={e^{x_0}}-（a+1）{x_0}-b＜1-（a+1）\frac{1-b}{a+1}-b=0$，所以h（x）≥0不恒成立．
不滿足條件；
（2）當a+1＞0時，
令h'（x）=0，得x=ln（a+1）．由h'（x）＞0，得x＞ln（a+1）；
由h'（x）＜0，得x＜ln（a+1）．
所以h（x）在（-∞，ln（a+1））上單調遞減，在（ln（a+1），+∞）上單調遞增．
要使得“h（x）=e^x-（a+1）x-b≥0恒成立”，必須有：
“當x=ln（a+1）時，h（x）_min=（a+1）-（a+1）ln（a+1）-b≥0”成立．
所以b≤（a+1）-（a+1）ln（a+1）．則a+b≤2（a+1）-（a+1）ln（a+1）-1．
令G（x）=2x-xlnx-1，x＞0，則G'（x）=1-lnx．
令G'（x）=0，得x=e．由G'（x）＞0，得0＜x＜e；
由G'（x）＜0，得x＞e．所以G（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，
所以，當x=e時，G（x）_max=e-1．
從而，當a=e-1，b=0時，a+b的最大值為e-1．
綜上，a+b的最大值為e-1．…（14分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．