Question

12．已知定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”．給出以下四個函數(shù)：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函數(shù)”的序號為（　�。�

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②③
• D． ②③④

Answer 1

分析 轉(zhuǎn)化已知條件，推出函數(shù)的單調(diào)性，判斷四個函數(shù)：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函數(shù)”的序號即可．

解答 解：定義在R上的函數(shù)f（x），若對任意兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，
都有x₁f（x₁）+x₂f（x₂）＜x₁f（x₂）+x₂f（x₁），則稱函數(shù)f（x）為“D函數(shù)”．
即：x₁（f（x₁）-f（x₂））+x₂（f（x₂）-f（x₁））＜0，
可得（x₁-x₂）（f（x₁）-f（x₂））＜0，
即：$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}＜0$，
說明函數(shù)是減函數(shù)．
①f（x）=e^x+x是增函數(shù)；
②f（x）=-x³-2x是減函數(shù)；
③f（x）=e^-x；是減函數(shù)；
④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，是偶函數(shù)，不是減函數(shù)；
所以四個函數(shù)：①f（x）=e^x+x；②f（x）=-x³-2x；③f（x）=e^-x；④f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln|x|，x≠0}\\{0，x=0}\end{array}\right.$，其中“D函數(shù)”的序號為：②③．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．