Question

20．（1）求函數$f（x）={log_{2x-1}}\sqrt{3x-2}$的定義域；
（2）求函數$y={（\frac{1}{3}）^{{x^2}-4x}}\;\;，\;x∈[0，5）$的值域．

Answer 1

分析 （1）根據對數函數的定義可得有意義的條件為$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{2x-1＞0，且2x-1≠1}\end{array}\right.$，解得即可，
（2）先判斷函數的單調性，根據函數的單調性即可求出函數的值域．

解答 解：（1）$f（x）={log_{2x-1}}\sqrt{3x-2}$有意義的條件為$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{2x-1＞0，且2x-1≠1}\end{array}\right.$，
解得$\frac{2}{3}$＜x＜1或x＞1，
即f（x）的定義域為（$\frac{2}{3}$，1）∪（1，+∞），
（2）設t=x²-4x=（x-2）²-4，
則t=x²-4x在[0，2]上為減函數，在[2，5]上為增函數，
因為y=（$\frac{1}{3}$）^xR上為減函數，
所以函數y=（$\frac{1}{3}$）^t在[0，2]上為增函數，在[2，5]上為減函數，
當x=2時，函數有最大值，即為y=3⁴=81
當x=5時，函數有最小值，即為y=（$\frac{1}{3}$）⁵=$\frac{1}{243}$
故函數的值域為[$\frac{1}{243}$，81]

點評 本題考查了函數的定義域和函數的值域的求法，考查了學生的運算能力，屬于中檔題