已知橢圓的長軸長為，離心率為，分別為其左右焦點．一動圓過點，且與直線相切．
（1）(ⅰ)求橢圓的方程；（ⅱ)求動圓圓心軌跡的方程；
（2）在曲線上有四個不同的點，滿足與共線，與共線，且，求四邊形面積的最小值．

（1）(�。�；（ⅱ） ；（2）. 四邊形面積的最小值為.

解析試題分析：（1）(ⅰ)由題意，,再結(jié)合解出的值從而得到橢圓的標準方程；(ⅱ)由條件“動圓過點，且與直線相切”知動圓圓心到定點的距離等于到定直線的距離，且定點不在定直線上，所以動圓圓心的軌跡是以為焦點，以為準線的拋物線；
（2）由題設(shè)知直線和直線互相垂直相交于點，且分別與物拋線有兩個交點，因此兩直線的斜率均存在且不為零，所以解決問題的基本思路是以其中一條直線的斜率為自變量，利用直線與拋物線相交的位置關(guān)系，將四邊形的面積表示成直線斜率的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
試題解析：（1）(ⅰ)由已知可得 
則所求橢圓方程                                                 3分
(ⅱ)由已知可得動圓圓心的軌跡為拋物線，且拋物線 的焦點為 ，準線方程為 ，則動圓圓心軌跡方程為                                                         6分
（2）由題設(shè)知直線 的斜率均存在且不為零
設(shè)直線的斜率為, 則直線的方程為： 
聯(lián)立
消去 可得                                     8分
由拋物線這義可知：
                     10分
同理可得                                                     11分
又（當且僅當時取到等號)
所以四邊形面積的最小值為.                           14分
考點：1、橢圓的標準方程；2、拋物線的定義與標準方程；3、直線與拋物線的位置關(guān)系綜合.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知雙曲線C：離心率是，過點，且右支上的弦過右焦點．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求弦的中點的軌跡E的方程；
（3）是否存在以為直徑的圓過原點O？,若存在，求出直線的斜率k 的值．若不存在，則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知動點到點的距離為，到軸的距離為，且．
（1）求點的軌跡的方程；
（2） 若直線斜率為1且過點，其與軌跡交于點，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓，過點且離心率為.

（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左右頂點，動點M滿足，連接AM交橢圓于點P，在x軸上是否存在異于A、B的定點Q,使得直線BP和直線MQ垂直.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓的離心率為，過橢圓右焦點作兩條互相垂直的弦與．當直線斜率為0時，．

（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點F作直線，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：


（1）求，的標準方程；
（2）若與交于C、D兩點，為的左焦點，求的最小值；
（3）點是上的兩點，且，求證：為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè):的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設(shè)是的一個交點.

(1)當時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數(shù),使得的邊長是連續(xù)正整數(shù).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為,點為拋物線上的一點，其縱坐標為，.
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)為拋物線上不同于的兩點，且，過兩點分別作拋物線的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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