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2.如圖,矩形ABCD所在的平面和正方形ADD1A1所在的平面互相垂直,AD=AA1=1,AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動.
(1)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)E到平面ACD1的距離;
(2)當(dāng)AE等于何值時(shí),二面角D1-EC-D的大小為π4?

分析 (1)分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸建立空間坐標(biāo)系,利用向量法能求出點(diǎn)E到平面ACD1的距離.
(2)求出平面CED1的法向量和平面ECD的一個(gè)法向量,利用向量法能求出當(dāng)AE=2-3時(shí),二面角D1-EC-D的大小為π4

解答 解:(1)分別以DA,DC,DD1為x軸,y軸,z軸建立空間坐標(biāo)系,
則E(1,1,0),A(1,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,1).
AD1=101,AC=120,
設(shè)點(diǎn)E到平面ACD1的距離為d,n=xyz是平面ACD1的法向量,
{nAD1=0nAC=0,得{x+z=0x+2y=0,取n=212
AE=010,
所以d=|nAE||n|=13
(2)設(shè)AE=l(0<l<2),由(1)知E(1,l,0),
設(shè)n1=x1y1z1是平面CED1的法向量.
EC=12l0,CD1=021
{n1EC1=0n1CD1=0,得{x1+2ly1=02y1+z1=0,取n1=2l12
又平面ECD的一個(gè)法向量為m=001
cosπ4=|mn1||m||n1|,即22=22l2+5,
解得l=23,即AE=23

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法,考查滿足條件的點(diǎn)的位置的判斷,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審,注意向量法的合理運(yùn)用.

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