Question

8．已知AB⊥AC，AB=AC，點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，若$∠BAM=\frac{π}{3}$，則t的值為（　�。�

• A． $\sqrt{3}-\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{2}-1$
• C． $\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（0，0）．不妨設(shè)C（3，0），B（0，3），由點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，可得點(diǎn)M在BC上．設(shè)|AM|=a，則acos$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$a=3，解得a．可得M坐標(biāo)．利用點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，向量相等即可得出．

解答 解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．A（0，0）．
不妨設(shè)C（3，0），B（0，3），
∵點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，∴點(diǎn)M在BC上．
設(shè)|AM|=a，則acos$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$a=3，解得a=3$\sqrt{3}$-3．
∴M$（\frac{9-3\sqrt{3}}{2}，\frac{3\sqrt{3}-3}{2}）$．
∵點(diǎn)M滿足$\overrightarrow{AM}=t\overrightarrow{AB}+（{1-t}）\overrightarrow{AC}$，
∴$\frac{9-3\sqrt{3}}{2}$=0+（1-t）×3，解得t=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)、向量共線定理、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．